Par : grolapinos | mardi 2 février 2010 à 23:07
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grolapinos
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J'ai l'impression qu'il y a de l'intérêt pour les petits problèmes simples de maths. Comme le sujet de laidzep ICI est devenu un peu fouillis, j'en ouvre un autre ici consacré à une nouvelle question.

Il a été établi dans le sujet ci-dessus que 2010! se terminait par 501 zéros. La question du nombre total de zéros dans ce nombre semblant dépasser le niveau des connaissances des protagonistes, je reviens sur un problème plus abordable, que je sais soluble :wink:

Voici :

Quel est le dernier chiffre non nul de 2010! (celui situé juste avant les 501 zéros) ?

:mrgreen:
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Seb42
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Bonjour,


Vite fait (donc sans explications) avant d'aller bosser : 3 pour le premier et 4 pour le dernier non nul.

Mais peut-être que je ne devrais pas spoiler en fait... :oops:


Seb42, qui ne sait pas résister
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grolapinos
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Tu spoiles pas vu que t'expliques rien et que personne d'autre que toi n'essaie :mrgreen:
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polo_deepdelver
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Pour moi, dès qu'un chiffre dépasse l'affichage sur ma calculette, j'essaie même pas.
Wlam
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grolapinos dit:Tu spoiles pas vu que t'expliques rien et que personne d'autre que toi n'essaie :mrgreen:

Ce n'est pas que j'ai pas envie d'essayer, mais bon, là comme ça à chaud, je n'ai pas d'idée.
Je ne sais même pas combien il a de chiffres en tout, ce 2010! (mais ça ne doit pas être utile pour répondre à ces questions).

Comme avec le temps depuis la prépa je suis devenu plus mauvais en maths et meilleur en recherches sur Internet, voilà ce que je trouve. Attention, les liens sont pleins de spoilers pour ceux qui veulent réfléchir eux-mêmes.

Le premier nombre de n!, c'est la suite :arrow: A008905 de l'OEIS, mais je n'y trouve la liste que jusqu'à 1000! - c'est un peu court, surtout que je ne vois pas comment on fait une récurrence là-dessus.

Et le dernier nombre non nul, c'est :arrow: A008904, et de là on trouve un lien vers :arrow: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/ ... /series020 qui donne des éléments de réponse intéressants. Maintenant que quelqu'un a réfléchi pour moi je devrais faire l'application numérique, mais j'ai la flemme.

C'est quand même beau, les maths...
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grolapinos
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Indice...

Pour le dernier chiffre non nul, éliminez les 5, et regardez ce qui reste...
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grolapinos
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Wlam dit:C'est quand même beau, les maths...


Non seulement tu fais de bons jeux, mais tu es un homme de goût :pouiclove:
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Wlam
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J'ai réfléchi un peu, mais je n'arrive à rien - et je ne vois pas par où commencer.
grolapinos dit:Pour le premier chiffre, dites-vous bien que seule la tête compte... et que la tête a une certaine tendance à se répéter.

Si tu essaies de me faire croire qu'on peut ne garder que les premiers chiffres des facteurs pour connaître le premier chiffre du produit, ça ne marche pas...

On peut ignorer assez facilement certains facteurs pour le premier chiffre (1, 2 et 5, 10, 4 et 25...) mais il reste un bon nombre de facteurs qui ne sont pas de la forme 2^n*5^p, et ceux-là, je ne vois pas ce qu'on en fait.

Si on regroupe les facteurs pour faire apparaître par exemple 99*101=(100-1)*(100+1)=100^2-1^2, on a bien un 100^2 que l'on peut ignorer pour le premier chiffre... sauf qu'on ne sait pas trop à quoi ressemble l'autre terme (le produit des 2008 facteurs qui restent) et ce serait vraiment pas de chance que la multiplication par 9999 change son premier chiffre, mais ça peut arriver...

Je ne vois pas non plus comment on peut déduire le premier chiffre de 2010! du premier chiffre de 2009! - du moins pas de manière sûre.

Sinon, j'ai cherché rapidement à partir de 2010! = produit(10a * 10a+1 * 10a+2 * ... * 10a+9) - mais ça ne me semble pas très constructif non plus.

Bref, un indice supplémentaire serait le bienvenu pour moi...

William
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grolapinos
grolapinos
Salut,

de toute évidence, j'ai merdé. Je suis totalement désolé de t'avoir fait perdre ton temps... C'est un problème qui me fut posé en son temps en prépa, et dont j'avais cru qu'une solution élémentaire existait. Mon indice était clairement foireux, le fruit d'un raisonnement à la va-vite. En fait, à moins d'une solution évidente que je loupe, je crois qu'il faut utiliser la formule de Stirling.

Elle nous fournit un moyen relativement simple de déterminer le logarithme à base 10 de 2010! avec une précision suffisante pour pouvoir ensuite élever 10 à la puissance de la partie fractionnaire de ce logarithme, ce qui nous donne ce premier chiffre. De toute évidence, ces calculs ne sont que difficilement faisables à la main (mais permettent en tout cas de les faire avec très peu de puissance de calcul, ce qui est une solution acceptable, celle sans doute que mon examinateur attendait à l'époque...).

Toutes mes excuses :( :oops:



Tu peux en revanche réfléchir au second problème, lui possède une solution élémentaire, d'ailleurs encore plus simple que celle que j'ai fournie dans mon indice initial, que j'ai modifié en conséquence.
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Laidzep
Laidzep
Quel est le dernier chiffre non nul de 2010! (celui situé juste avant les 501 zéros) ?


Je dirais 4.
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cho7
cho7
Laidzep dit:
Quel est le dernier chiffre non nul de 2010! (celui situé juste avant les 501 zéros) ?

Je dirais 4.

je surconfirme.
Le nombre exact étant :
Factorielle de 2010 dit:
3490380374904297188514041562858679236982
8597102156923844138853631496409286065216
3061059039547784906789110054988206966833
7987491195028145259163897487776808896333
8865688261619588154713786641126873744263
8956360546116123494558026803774757938475
3564396992247912883763744542224845651525
6744070141472384399283861289940345222662
9636212182798752128221153932860407677962
4084970876142022241186286951794158006361
0913252687499396712367636220322414034922
4920846826649173050105170511059644783528
8479627076374745408583668204647538476455
6005696517201242738404698567149345371308
9496818570300200490604668319942836178872
8211753395239173231840984427276103264602
5020894109231383846804344243059421464400
3190756674409521952204584385296192816896
5855279388646197129485330141912626163669
4388974177281419526508133906689623932742
9556351607148236296381786887447730094799
8991133039184867576527641549264103066378
0208769318933694228559450161114149826431
7370691123212419680723877881222928188896
4341164583953579985334716679992915669517
8909918147604139126473702826366473572024
5305351681336409354311684448754100675460
3641658202761150308419335038718908497060
4050225879810476515366017728861771516978
8156127952117032497321558474312245630580
2411508041309017135506061518511235813346
8790508079128201520048684899750068783822
9635751788907584945333513439448334884324
5213890533719923178733777511179124045747
0538831558805602918329450901371662739901
0638751192877946798991398707610201697305
4210156711826109309601887659915528897288
2017759961552174415766264351521542192504
1245937379213968414568821317902073378442
4019925047210252932915333286062328439854
8718440325290924616779869791200975293499
1030635219198539281931442102449794767297
1036296347303898421406899056028719400830
3011115489313735383590166166059487544400
3257168415937025935605768254253796457134
3979546625186287779312845642455569020805
9978975995765030370907149309502478681019
1509432346121443798282672135361477060196
1646487836977631681324392068726230821829
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4171062333621778857446959907802692590543
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1680879197085794336611638392449561093059
0858873725795936668923050146725016677739
1388449732901127367897710467350386398041
0642154981718059748500158840051211840470
0002640220674356589029252335329338332607
8835234739986172581205440706152088383532
8460933760998188018035487717456993238718
4174043558521970049307825024538394964019
5285777848046062329696587737262640314172
5540117742060240614028782634102463626014
1676335902571823265170711643464631668238
1279918002642264624593458029097165215203
8132205644898956639793236725838483770066
8854846324705332773776777373587451074134
3158799322413800290672549291806075992652
1886420065574493029453064626793898338854
1672080854875648360899973215072443593326
2319340414106294376638412739222111810475
7919234900080248819068798116966073985047
1816557345360349147534274126099349180654
2695129726436583534560231825395961231827
5703795312991381526991898004274577007014
0306801579944577113361272160239916606989
6496290848622488686202676219617883740754
5899953007665124553083675324282178694646
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4712991418343631561737404283737061186537
5009603332425355137304422889108819205208
7135060076087543886998046870135082832618
7544516461220305252226262717502630987401
7502987329675816024642986106112437500457
8578872745706541891718759862039118331219
2067809583199518713626701406289057109831
4297877442377780787589442019635583087016
5339541673631323642161834474993062668009
1689189397955453853629690306969206153704
8598991207043998030347565265748098918215
8990422105828992072698472603668452789421
0233182198235832893425222144082404447265
6557381712837963927221039726376651221869
0510133331877488333499190021306921120870
0184530918688539921241556681136970950434
8280004174463663790220697192991089902840
5010284706870616913957715887523316789855
6952162063159615506323052444655208173278
1195503650205797541902024704000000000000
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edit : version plus lisible du nombre :)