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Par : Laidzep | lundi 25 janvier 2010 à 04:33
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Laidzep
Laidzep
Je propose une petite énigme, pour alimenter ce forum un peu délaissé. C'est dommage.

Quel est le plus petit entier naturel, divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8 et par 9?
C'est assez facile à résoudre, soit par déduction, soit par un peu de tâtonnements.
Donner une réponse universellement admise.
Bonne journée.
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cho7
cho7
Laidzep dit:Je propose une petite énigme, pour alimenter ce forum un peu délaissé. C'est dommage.
Quel est le plus petit entier naturel, divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8 et par 9?
C'est assez facile à résoudre, soit par déduction, soit par un peu de tâtonnements.
Bonne journée.


bah, zéro ?
Big_Troll
Big_Troll
362880 :lol:
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petezahh
petezahh
Laidzep dit:C'est assez facile à résoudre, soit par déduction, soit par un peu de tâtonnements.


Ou façon bourrin en pissant quelques lignes de code :mrgreen:
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Chewy203
Chewy203
2520

Explication en blanc ci-dessus :
Divisible par :
1 => tous les entiers le sont
2 => on s'en fiche car divisible aussi par 4,6 et 8
3 => on s'en fiche car divisible par 6,9
4 => on s'en fiche car divisible par 8
5=> on le garde
6 => on s'en fiche car divisible par 8 et 9
7 => on le garde
8 => on le garde
9 => on le garde
Donc ça donne : 5*7*8*9 = 2520
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cho7
cho7
petezahh dit:
Laidzep dit:C'est assez facile à résoudre, soit par déduction, soit par un peu de tâtonnements.

Ou façon bourrin en pissant quelques lignes de code :mrgreen:


for i in range(1,10000):
trouve = True
for n in range(1,10):
if i % n != 0:
trouve = False
break
if trouve:
print "Nombre magique :",i
break
>>>
Nombre magique : 2520
>>>


Oui certes, n'empêche que pour moi 0 est la bonne réponse, car c'est aussi un entier naturel et on a parfaitement le droit de diviser 0 par 5 ou 9 ou n'importe quoi (même si ça fait 0)

Bref, c'est mon dernier mot !
Laidzep
Laidzep
Bonne réponse de Chewy203, avec une explication parfaite! :pouicok:

Pour le zéro, même si la réponse est intéressante, ce n'est pas celle que j'attendais. Le problème, c'est que le fait de classer le zéro dans les entiers naturels, comme nombre positifs, est récente, et dépend encore de convention, contestées notemment dans les pays anglo-saxons.

2520 est la bonne réponse. 0 est la réponse alternative, mais encore discutable.

Bonne journée.
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Keiyan
Keiyan
Dans ce cas, la bonne réponse est 1. C'est un entier naturel, il est divisble par tous les autres, juste ça donne des résultats dans R, mais l'énoncé ne précise pas ce point, donc c'est valable.

Donc la bonne réponse est 1.

Keiyan, petite bête.
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Simba555
Simba555
En même temps dans l'énoncé il n'y avait pas le mot positif alors pour c'est 0 aussi. :P
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Laidzep
Laidzep
Petite précisions pour les empêcheurs de donner une solution d'énigme en rond ( :mrgreen: ).

Lorsqu'on cherche à savoir si un nombre entier naturel a est divisible par un entier naturel non nul b, on étudie la divisibilité de a par b.
On dit que a est divisible par b si la division de a par b donne un quotient entier et un reste nul.

Sinon, pour le cas du zéro, la question n'est pas tant de savoir s'il est positif, mais de savoir s'il appartient aux entiers naturels (en mathématiques, un entier naturel est un nombre positif dont la partie déciamle est nul). Doit-on considérer le zéro comme un nombre nul, positif et négatif, tout à la fois? C'est là que les avis divergent, il n'y a pas encore de consensus générale (joli pléonasme). Le zéro n'appartient pas aux entiers naturels pour certains, et oui pour d'autre. En france, on enseigne aux élèves que oui. Dans d'autre pays, non.
Mais je suis d'accord sur le fait que le zéro est une solution intéressante, même si elle est sujet à caution.
Dans le même ordre d'idée, certains considèrent que le 1 fait partie des nombres premiers, même si la convention admise nous dis l'inverse. Il y a des discussions sur la validité de ses assertions.
Bref, arrêtez de m'embêter, la réponse c'est 2520. Alors, pouet, pouet, hein?
Sur ce, je reste ouvert à la discussion, sur la justesse et la pertinence de la solution, même si je sais que j'ai raison. Pourquoi? Parce que vous avez tort, bien sur.

J'édite mon premier message, comme ça, vous pouvez plus m'embêter, bande de gros méchants, pas gentils.
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grolapinos
grolapinos
Laidzep dit:Petite précisions pour les empêcheurs de donner une solution d'énigme en rond ( :mrgreen: ).
Lorsqu'on cherche à savoir si un nombre entier naturel a est divisible par un entier naturel non nul b, on étudie la divisibilité de a par b.
On dit que a est divisible par b si la division de a par b donne un quotient entier et un reste nul.
Sinon, pour le cas du zéro, la question n'est pas tant de savoir s'il est positif, mais de savoir s'il appartient aux entiers naturels (en mathématiques, un entier naturel est un nombre positif dont la partie déciamle est nul). Doit-on considérer le zéro comme un nombre nul, positif et négatif, tout à la fois? C'est là que les avis divergent, il n'y a pas encore de consensus générale (joli pléonasme). Le zéro n'appartient pas aux entiers naturels pour certains, et oui pour d'autre. En france, on enseigne aux élèves que oui. Dans d'autre pays, non.
Mais je suis d'accord sur le fait que le zéro est une solution intéressante, même si elle est sujet à caution.
Dans le même ordre d'idée, certains considèrent que le 1 fait partie des nombres premiers, même si la convention admise nous dis l'inverse. Il y a des discussions sur la validité de ses assertions.


Ouais, enfin, des discussions, ça m'étonnerait un peu... Il y a des conventions différentes selon les pays, c'est tout, et quand on donne des énoncés, on s'adapte.

Ceci dit, pour le 1, ça m'étonnerait bien qu'on le trouve classé dans les nombres premiers dans des ouvrages sérieux.

Sinon, le chiffre cherché est le PPCM (plus petit commun multiple) des nombres fournis.

On l'obtient en décomposant chacun des nombres facteurs premiers :
2=2
3=3
4=2²
5=5
6=3x2
7=7
8=2^3
9=3²
et en prenant le chiffre obtenu en multipliant ces facteurs premiers élevés à la plus grande puissance apparaissant pour chacun d'entre eux.

PPCM(2,3,4,5,6,7,8,9)=2^3x3²x5x7=2520.

Cette notion n'est pas à confondre avec celle de factorielle, ici la factorielle de 9, notée 9!, est

9!=1x2x3x4x5x6x7x8x9=362880

Je pense que ce genre de notion d'arithmétique très basique est quand même maîtrisée par une grande majorité de gens, mais à la limite, ça m'intéresserait de savoir si c'est vraiment le cas.



Question subsidiaire pour ceux qui ont pigé : combien de 0 trouve-t-on à la fin du PPCM de tous les entiers de 1 à 2010 ? et à la fin de la factorielle de 2010 ?


:mrgreen:
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grolapinos
grolapinos
Keiyan dit:Dans ce cas, la bonne réponse est 1. C'est un entier naturel, il est divisble par tous les autres, juste ça donne des résultats dans R


plus précisément, dans ton Q.
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Zakouski
Zakouski
Ahahaha ! 1 premier ! N'importe quoi ! :lol:

Bon, j'aime bien tes dernières questions, grolapinos.
Je suis un peu flemmard, là, mais j'y repense.
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Laidzep
Laidzep
Ahahaha ! 1 premier ! N'importe quoi !


Doucement! Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dis, non plus. :mrgreen:
1 est pas premier, et le sera jamais. Mais y'a plein de personne qui pense le contraire.
J'ai juste forcé un peu le trait, pour avoir raison. :mrgreen:

Plus sérieusement, je réfléchis à la question posée, et aprés dodo.
Bonne soirée.
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Docteur Mops
Docteur Mops
Laidzep dit:
Doucement! Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dis, non plus. :mrgreen:
1 est pas premier, et le sera jamais.
Bonne soirée.


Si ! Si !
UN est premier...
Comme DEUX est deuxième ^^

Un petit glissement sémantique et le tour est joué ! :wink:
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Wlam
Wlam
grolapinos dit:Question subsidiaire pour ceux qui ont pigé : combien de 0 trouve-t-on à la fin du PPCM de tous les entiers de 1 à 2010 ? et à la fin de la factorielle de 2010 ?

Après un griffonnage rapide sur un coin de feuille, je trouve 4 et 473. Mais j'ai pu en oublier quelques-uns.
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Seb42
Seb42
Bonjour,


Laidzep dit:Le zéro n'appartient pas aux entiers naturels pour certains, et oui pour d'autre. En france, on enseigne aux élèves que oui. Dans d'autre pays, non.

Pourrais-tu me donner des exemples de pays dans lesquels le zéro est enseigné comme n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels ? Aucun mauvais esprit de ma part en te mettant au défi, je m'excuse d'avance si tu le prends comme une provocation, c'est seulement que je suis sincèrement intéressé par la question. Merci d'avance. :wink:

Laidzep dit:[...]en mathématiques, un entier naturel est un nombre positif dont la partie déciamle est nul[...]

Pour un matheux, cette phrase pique un peu les yeux... :?
Qu'est-ce que la partie décimale ? Si c'est définie comme étant la différence d'un nombre avec sa partie entière où cette dernière représente le plus grand entier naturel inférieur au nombre donné alors nous tournons un peu en rond... De même, qu'est-ce qu'un nombre positif ? Si c'est un nombre réel supérieur à zéro, cela présuppose que l'on sache définir précisément non seulement zéro (en particulier : est-ce un entier naturel ? re-boucle) mais aussi l'ensemble des nombres réels. Et je ne connais aucune définition sérieuse de l'ensemble des nombres réels qui ne fasse pas intervenir, même implicitement, l'ensemble des entiers naturels (et je ne parle pas de leur construction, c'est-à-dire de la preuve de leur existence).
Bref, cette définition des entiers naturels issue de Wikipédia n'a aucune valeur mathématique. Et plus subjectivement, je ne pense même pas qu'elle ait une valeur pédagogique car ça me semble plus difficile de transmettre la notion de nombres à partie décimale avant celle d'entiers cardinaux ou ordinaux.
Encore désolé si ce message parait trop péremptoire ou trop agressif. Je ne reproche rien à personne, c'est seulement que je ne peux m'empêcher d'intervenir. Comme dit plus haut : "ça m'a piqué les yeux". :P

grolapinos dit:Question subsidiaire pour ceux qui ont pigé : combien de 0 trouve-t-on à la fin du PPCM de tous les entiers de 1 à 2010 ? et à la fin de la factorielle de 2010 ?

Pour le PPCM, 1000 étant la plus grand puissance de 10 incluse dans la liste la réponse est 3.
Pour la factorielle, il suffit de compter le nombre de facteurs 10=5*2, donc de facteurs 5 dans le produit. Or il y a 2010/5=402 nombres de la liste divisibles par 5, 402/5=80 nombres de la liste divisibles par 5*5, 80/5=16 nombres de la liste divisibles par 5*5*5, 16/5=3 nombres de la liste divisibles par 5*5*5*5 et aucun nombre de la liste divisible par une puissance de 5 plus grande que 5*5*5*5. Finalement le résultat est 402+80+16+3=501.

Question suivante : quel est maintenant le nombre de zéros dans l'écriture de la factorielle de 2010 (pas seulement ceux placés à la fin) ?


Arithmétiquement,
Seb42, qui n'a pas pu s'empêcher :oops:
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grolapinos
grolapinos
Impec pour la factorielle mais reprends ton PPCM ;)

Sinon, entièrement d'accord avec tes remarques sur la définition des entiers (et je me suis posé la même question que toi concernant le 0, si ce n'est que je sais que les américains ont tendance à numéroter leurs suites à partir de 1).
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grolapinos
grolapinos
Wlam dit:....


OK pour le PPCM, non pour la factorielle, mais je voudrais savoir par quel raisonnement tu arrives à ce chiffre !
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Laidzep
Laidzep
Pourrais-tu me donner des exemples de pays dans lesquels le zéro est enseigné comme n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels ? Aucun mauvais esprit de ma part en te mettant au défi, je m'excuse d'avance si tu le prends comme une provocation, c'est seulement que je suis sincèrement intéressé par la question. Merci d'avance.

Je sais qu'en Allemagne, c'est le cas. Au Canada aussi, aux Etats-Unis également. Aprés une petite recherche.
http://forums.futura-sciences.com/mathe ... turel.html

Pour un matheux, cette phrase pique un peu les yeux...
Qu'est-ce que la partie décimale ? Si c'est définie comme étant la différence d'un nombre avec sa partie entière où cette dernière représente le plus grand entier naturel inférieur au nombre donné alors nous tournons un peu en rond... De même, qu'est-ce qu'un nombre positif ? Si c'est un nombre réel supérieur à zéro, cela présuppose que l'on sache définir précisément non seulement zéro (en particulier : est-ce un entier naturel ? re-boucle) mais aussi l'ensemble des nombres réels. Et je ne connais aucune définition sérieuse de l'ensemble des nombres réels qui ne fasse pas intervenir, même implicitement, l'ensemble des entiers naturels (et je ne parle pas de leur construction, c'est-à-dire de la preuve de leur existence).
Bref, cette définition des entiers naturels issue de Wikipédia n'a aucune valeur mathématique. Et plus subjectivement, je ne pense même pas qu'elle ait une valeur pédagogique car ça me semble plus difficile de transmettre la notion de nombres à partie décimale avant celle d'entiers cardinaux ou ordinaux.
Encore désolé si ce message parait trop péremptoire ou trop agressif. Je ne reproche rien à personne, c'est seulement que je ne peux m'empêcher d'intervenir. Comme dit plus haut : "ça m'a piqué les yeux".


Ce que tu dis est juste, donc la définition donnée sur Wikipédia est imprécise. Mais, tu l'as rectifié, donc tout vas bien. :pouicok:
Bonne journée à toi.
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Triz
Triz
Laidzep dit:1 est pas premier, et le sera jamais. Mais y'a plein de personne qui pense le contraire.

Premier = uniquement divisible par "1" et par lui-même.

C'est le cas de "1" non ?

Je dois le rendre mon bac S, c'est ça ? :oops:
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Seb42
Seb42
Re,


grolapinos dit:Impec pour la factorielle mais reprends ton PPCM ;)

Au temps pour moi. Je reprends : pour le PPCM, 5^4=5*5*5*5=625 étant la plus grand puissance de 5 incluse dans la liste la réponse est 4. Comme pour la factorielle, il fallait aussi raisonner avec les facteurs premiers. :oops:


Factoriellement,
Seb42, Peinant Pour Ces Maths
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grolapinos
grolapinos
Triz dit:
Laidzep dit:1 est pas premier, et le sera jamais. Mais y'a plein de personne qui pense le contraire.

Premier = uniquement divisible par "1" et par lui-même.
C'est le cas de "1" non ?
Je dois le rendre mon bac S, c'est ça ? :oops:


Non, certainement pas, il s'agit d'une pure question de convention. Néamnmoins, pour généraliser la notion de nombre premier à des ensembles plus généraux munis d'une arithmétique similaire aux nombres entiers (je peux pas trop rentrer dans les détails sans devenir assez pointu), la définition la plus raisonnable est la suivante :

"Un entier naturel est premier si (et seulement si) il est supérieur ou égal à 2 et que ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même."

Je n'imagine pas qu'un ouvrage de mathématique puisse choisir d'inclure 1 dans les nombres premiers, dans la mesure où la totalité des théorèmes qui suivent nécessitent de l'exclure pour être énoncés simplement.
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grolapinos
grolapinos
Laidzep dit:
Pourrais-tu me donner des exemples de pays dans lesquels le zéro est enseigné comme n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels ? Aucun mauvais esprit de ma part en te mettant au défi, je m'excuse d'avance si tu le prends comme une provocation, c'est seulement que je suis sincèrement intéressé par la question. Merci d'avance.

Je sais qu'en Allemagne, c'est le cas. Au Canada aussi, aux Etats-Unis également. Aprés une petite recherche.
http://forums.futura-sciences.com/mathe ... turel.html


:china:
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Seb42
Seb42
Re,


Laidzep dit:Je sais qu'en Allemagne, c'est le cas. Au Canada aussi, aux Etats-Unis également.

En effet, je n'avais jamais entendu parlé de cette ambiguïté, ou plutôt de cette convention obsolète. Ça doit quand même être assez anecdotique désormais, car je n'ai jamais croisé ce problème dans la littérature anglo-saxonne (majoritaire en mathématiques) ou lors de discussions avec des collègues étrangers. En tout cas, merci de l'information. :pouicok:

Triz dit:Premier = uniquement divisible par "1" et par lui-même.
C'est le cas de "1" non ?

Nope. Premier = exactement deux diviseurs entiers positifs distincts. En particulier, on peut montrer que si un nombre est premier alors ces deux diviseurs sont 1 et lui-même.
1 est écarté de l'ensemble des nombres premiers pour pouvoir énoncer certains théorèmes plus simplement, par exemple : "tout entier naturel se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers" (on perdrait l'unicité si on autorisait 1 à être premier et on devrait traiter l'exception dans l'énoncé).

Voilou :wink:


Numériquement,
Seb42, divisé

[RobotEdit] Grilled par le lapin... :holdpouic:
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Laidzep
Laidzep
Je n'imagine pas qu'un ouvrage de mathématique puisse choisir d'inclure 1 dans les nombres premiers, dans la mesure où la totalité des théorèmes qui suivent nécessitent de l'exclure pour être énoncés simplement.

Je n'ai jamais dis ça non plus. :mrgreen:
Relis-moi, je dis juste que certaine personne pense que 1 fais partie des premiers, et je dis même que certains le soutienne mordicus.
J'ai juste omis de dire que ça n'avait aucune valeur mathématique, mais ça c'était pour soutenir mon énoncé de départ. :mrgreen: :mrgreen:
"Un entier naturel est premier si (et seulement si) il est supérieur ou égal à 2 et que ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même."


J'avais aussi notion que pour faire partie des premiers, il existait la condition d'avoir deux diviseurs distincts. Ce qui n'est pas le cas de 1. Mais, c'est du pareil au même, de toute façon.

EDIT: Je rajoute une petite question. Je me suis demandé quelquefois, s'il existait un algorithme permettant de déterminer les premiers. A part le crible d'eratosthène que je trouve pas pratique?
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Zakouski
Zakouski
Le crible d'Eratosthène ne sert pas à déterminer si un nombre est premier mais à donner la liste des premiers nombres premiers. C'est ce qu'il y aurait de plus long pour déterminer la "primitude" (mode Ségolène) d'un nombre.

L'algo le plus simple est celui qu'on emploie quand on le fait à la main :
http://www.commentcamarche.net/faq/suje ... emier-en-c


(c'est primalité, le bon mot, hein :mrgreen: )
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grolapinos
grolapinos
Laidzep dit:EDIT: Je rajoute une petite question. Je me suis demandé quelquefois, s'il existait un algorithme permettant de déterminer les premiers. A part le crible d'eratosthène que je trouve pas pratique?


Il existe une foule d'algorithmes très élaborés, mais aucun qui permette de traiter en un temps raisonnable le problème des très grands nombres premiers à partir d'une certaine taille. Quand on sait que ce problème est toujours au coeur des méthodes de cryptage utilisées par les banques ou l'armée, on voit qu'on touche ici à un domaine de recherche très sensible.

On peut par ailleurs tout à fait considérer la méthode du crible d'Eratosthène comme un algorithme :wink:
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Zakouski
Zakouski
Oui, oui, je suis d'accord, mais ce n'est pas un algo de test, mais un algo de listage donc encore plus long.

Et les algo probabilistes ne sont pas sûrs, même s'ils sont plus rapides.
(je ne travaille pas dans ce domaine donc je n'ai pas suivi les évolutions de la recherche, désolé)
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grolapinos
grolapinos
-- s e b dit:Et les algo probabilistes ne sont pas sûrs, même s'ils sont plus rapides.
(je ne travaille pas dans ce domaine donc je n'ai pas suivi les évolutions de la recherche, désolé)


Faut savoir ce qu'on veut :wink:

Moi non plus, je ne travaille pas dans ce domaine, j'ai sur cette question mathématique précise une culture frisant le zéro absolu. Peut-être Seb42 ou scand1sk sont-ils plus au courant.
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Seb42
Seb42
Bonjour,


grolapinos dit:Peut-être Seb42[...]

Nope, géomètre je suis donc pas mieux. :^:


Seb42, qui passe son tour
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grolapinos
grolapinos
Seb42 dit:Question suivante : quel est maintenant le nombre de zéros dans l'écriture de la factorielle de 2010 (pas seulement ceux placés à la fin) ?


Je le repère à l'instant... je le connais pas celui-ci, et je le sens un tout petit chouilla plus compliqué :skullpouic:

J'y réfléchis un peu, mais seulement un peu parce que hein, bon, j'ai du vrai boulot moi.
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