Il existe une stratégie permettant de gagner plus de 40% du temps.
Saurez-vous trouver laquelle ?
titoufred dit:Il existe une stratégie permettant de gagner plus de 40% du temps.
Saurez-vous trouver laquelle ?
Et si tu nous donnais la réponse?
Lucco dit:remarques: je n'ai pas tout lu
Je pense qu'il y a quelque part un biais mathématique,
ou encore une erreur dans vos raisonnement qui laisse croire qu'il peut y avoir une stratégie dans un "jeu" pour lequel on a aucune maitrise.
vous avez devant vous 2 enveloppes,
Lorsque je choisis la première, j'ai 50% de chance d'avoir pris la plus grande valeur.
Vu que je sais que l'une contient le double de l'autre, mon espérance de gain en prenant la seconde est donc meilleur.
Je pense que l'erreur de raisonnement est là.
Car à la fin, en choisissant la deuxième comme la première, on a bien 50% de chance d'avoir fait le "bon choix"
Pour conclure, il n'y a pas de stratégie gagnante, dans un tel jeu, tu as une chance sur deux de choisir la bonne enveloppe.
Remplacer le 2 par 8, voir n
Remplacer le 50 par 100/8, voir 100/n
Pour conclure, il n'y a pas de stratégie gagnante dans un tel jeu, vu qu'il n'y a aucunes règles sur le contenue des enveloppes, arrêtez de vous faire des nœuds au cerveau, et choisissez au pif!
Sauf que le but n'est pas de trouver une stratégie gagnant, mais de trouver une stratégie maximisant la probabilité de garder la meilleur enveloppe.
Simboubou dit:Sauf que le but n'est pas de trouver une stratégie gagnant, mais de trouver une stratégie maximisant la probabilité de garder la meilleur enveloppe.
il n'y en a pas, vu que ce qu'il y a dans chaque enveloppe est totalement indépendant.
Tu ne prends pas d'informations sur les autres enveloppes en en ouvrant une.
Lucco dit:
il n'y en a pas, vu que ce qu'il y a dans chaque enveloppe est totalement indépendant.
Regarde l'exemple avec les trois enveloppes qui a été donné en début de thread.
Sinon, on peut généraliser le raisonnement de Simboubou en ouvrant k enveloppes puis en s'arrêtant à la première enveloppe dont le contenu est supérieur au maximum des k premières enveloppes.
Si n est le nombre total d'enveloppes, je suspecte k de devoir augmenter avec n mais je n'ai pas fait le calcul pour avoir la vitesse de croissance (tout faire de tête étant un peu compliqué).
Lucco dit:Simboubou dit:Sauf que le but n'est pas de trouver une stratégie gagnant, mais de trouver une stratégie maximisant la probabilité de garder la meilleur enveloppe.
il n'y en a pas, vu que ce qu'il y a dans chaque enveloppe est totalement indépendant.
Tu ne prends pas d'informations sur les autres enveloppes en en ouvrant une.
Tu n'as pas lu le topic... j'ai proposé une stratégie et j'ai montré qu'elle faisait mieux que 1/8. Et Titoufred a confirmé.
genji dit:
Sinon, on peut généraliser le raisonnement de Simboubou en ouvrant k enveloppes puis en s'arrêtant à la première enveloppe dont le contenu est supérieur au maximum des k premières enveloppes.
Je viens de coder le calcul (en espérant ne pas avoir fait d'erreur).
Je trouve:
k = 1: 32.411%
k = 2: 39.821%
k = 3: 40.982%
k = 4: 37.976%
k = 5: 31.845%
k = 6: 23.214%
k = 7: 12.5%
Pour ceux que ça intéresse, la probabilité vaut:
k*(n-k)! / n! * \sum_{t = 2}^{n-k+1} (n-t)! / [(n-t-k+1)! (t-1)]
Pour 100 enveloppes, il faut choisir k = 37 pour obtenir 37.1% de chances de réussite (ce qui me paraît énorme).
Pour 16 enveloppes, il faut choisir k=6. Je soupçonne la valeur optimale de k d'être égale à n/e arrondi inférieurement ou supérieurement. La preuve de cette conjecture sera laissée en exercice au lecteur.
Bravo genji (et Simboubou pour l'idée de départ).
Il ne reste plus au lecteur qu'à apporter la preuve de la conjecture avancée 
.
Si si, j'ai lu le topic
Je veux bien l'exemple avec les 3 enveloppes pour comprendre votre raisonnement.
néanmoins, j'ai un gros doute mais je suis encore ouvers 
genji dit:Je soupçonne la valeur optimale de k d'être égale à n/e arrondi inférieurement ou supérieurement.
Pour aider les billes en math un peu perdues :
je suppose que n est le nombre total d'enveloppe?
par contre e c'est quoi?
Exponentiel ?
Bobby dit:
je suppose que n est le nombre total d'enveloppe?
par contre e c'est quoi?
Oui pour n et e = exp(1) = 2.7183 (à peu près).
Désolé de ne pas avoir précisé. Tant qu'on y est, je rajoute une deuxième conjecture: la probabilité de trouver l'enveloppe contenant le nombre le plus élevé tend vers 1/e = 36.79% quand n tend vers l'infini (et k = n/e).
L'intuition qui est derrière c'est que tu utilises un certain nombre d'enveloppes pour estimer l'ordre de grandeur du maximum.
En fait ce que l'on veut c'est connaitre la probabilité que le maximum soit dans les n-k dernières enveloppes et qu'entre les positions k+1 et celle du maximum il n'y ait pas d'élément plus grand que les k premiers.
Pour la saleté laissée au lecteur, dérivant on obtient :
((-1 + n)! (-PolyGamma[0, 1 - k] + PolyGamma[0, 1 - n] + k PolyGamma[1, 1 - k]))/n!
Edit2 : Finalement ma première version semblait pas mal.
A priori en remplaçant par n/e on tombe sur un truc qui s'annule pas exactement en les valeurs entières de N donc cela voudrait dire que la conjecture est un peu fausse. Par contre c'est pas loin de le faire donc il y a peut être une erreur numérique... A voir. Surtout que plus N grandit plus on a l'air de converger vers N/e comme valeur optimale de k, bref la conjecture est peut être vraie pour N grand.
Edit3 : On peut aussi relier les expression aux nombre harmoniques munis de leur extension négative. Dans ce cas on tombe sur des travaux mathématiques assez récents.