Après un titre plutôt obscur je vous expose le problème qui m'est venu aujourd'hui : j'ai aujourd'hui appris que je suis de groupe sanguin A. Mon frère lui est de groupe A aussi. Mon père est de groupe O et ma mère de groupe A. Ouf jusque là tout va bien (facteur toussa...). Si l'on suppose que tous les génotypes sont bien exprimés, on a à coup sûr :
Mon père a deux allèles O (car O est récessif)
Mon frère et moi avons sûrement comme allèles un O (celui-ci vient de notre père) et un A (qui ne peut venir que de notre mère et qui s'exprime dans notre phénotype)
Ma mère a un allèle A, le deuxième est un A ou un O
La question est de savoir avec ces connaissances quelle est la probabilité que ma mère soit AO ou AA. En effet, tant qu'aucun enfant n'est de groupe O, on ne peut être sûr de son génotype, et ce quel que soit le nombre d'enfants.
On a facilement que si elle est AA, la probabilité qu'elle ait eu deux enfants de groupe A est 1. Et que si elle est AO, cette probabilité est de 0.25. Maintenant je veux donc savoir quelle est la probabilité qu'elle soit AO, avec n enfants tous de groupe A. Je vais cependant essayer de retrouver mes cours de proba.
Si on néglige les probas de mutations. Après n observations d'enfants A. On a
P( n enfants A | mère AA ) = 1 P( n enfants A | mère AO ) = 1/2^n
Le problème est qu'ici tu veux P( mère AA | n enfants A)
Par bayes on a P(mère AA | n enfants A) * p( n enfants A) = p(mère AA) P(mère AO | n enfants A) * p( n enfants A) * 2^n= p(mère AO)
avec P(mère AO) + P (mère AA) = 1
Mais tout cela ne sert pas à grand chose car on fait apparaître des probabilités conditionnelles que l'on ne sait pas estimer (on pourrait peut être les avoir en se donnant une hypothèse d'indépendance + les proportions de A et de O que l'on peut faire apparaître dans dans les probas).
En tout cas ce qui est sur c'est que tu peux construire un test statistique de AO contre AA pour la mère qui voit son niveau décroître en 1/2^n tout en ayant une puissance de 1 (pas de risque de seconde espèce : si on rejette AA c'est que l'on a vu un enfant OO et que la mère ne peut pas être AA).
Les probabilités sont une théorie de l'information. N'ayant pas plus d'information sur ta mère, je supposerai simplement qu'elle est française, sans présupposer de ses origines ethniques. Cependant, si tu sais qu'elle est d'origine russe, amérindienne, basque..., tu pourras éventuellement changer les proportions de groupes sanguins que j'ai utilisées, car elles varient beaucoup d'une ethnie à l'autre. Je vais donc estimer la probabilité pour ta mère d'être ao ou aa, en me basant sur les proportions des groupes sanguins en France.
1) Nous allons tout d'abord estimer la proportion p de français portant les allèles aa parmi ceux qui sont du groupe A.
En France, les proportions des groupes A et O sont respectivement : P(A) ~ 45% et P(O) ~ 42%.
Nous pouvons en déduire les proportions d'allèles a et o dans la population :
P(o)^2 = P(O) donc P(o) = rac(P(O)) ~ 65% et P(a)^2+2*P(a)*P(o) = P(A), ce qui donne P(a) = rac(P(A)+P(O))-P(o) ~ 28%.
On peut donc en déduire P(aa) = P(a)^2 ~ 8%.
Finalement, on peut en conclure que p = P(aa|A) = P(aa)/P(A) ~ 18%.
Cela signifie qu'en France les personnes du groupe A se répartissent ainsi : 18% de aa et 82% de ao.
On prendra donc P(Mère aa) = p ~ 18% et P(Mère ao) = q = 1-p ~ 82%.
2) Utilisons maintenant le fait que ta mère a eu deux enfants A :
Si ta mère est aa, ses 2 enfants étaient assurément A. Si elle est ao, la probabilité que ses 2 enfants soient A était égale à 1/4.
Ainsi, (sachant qu'elle est A et que ton père est O), la probabilité d'avoir 2 enfants A était pour elle : P(2 enfants A) = p + q/4
On peut finalement calculer la probabilité que ta mère soit aa ou ao, en tenant compte du fait qu'elle a eu 2 enfants A :
P(Mère aa | 2 enfants A) = P(Mère aa)/P(2 enfants A) = p/(p+q/4) = 4p/(3p+1) ~ 47% P(Mère ao | 2 enfants A) = P(Mère ao et 2 enfants A)/P(2 enfants A) = (q/4)/(p+q/4) = (1-p)/(3p+1) ~ 53%
Je vais cependant essayer de retrouver mes cours de proba.