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Par : EtienneS684 | mercredi 26 mars 2003 à 17:21
EtienneS684
EtienneS684
Je vous fais part d'une des plus belles énigmes que j'ai jamais vues.
C'est assez difficile, et un peu matheux.

Deux nombres, pas forcemment différents, sont choisis dans l'ensemble des nombres entiers plus grands que 1 et plus petis que 20. Seule la somme de ces deux nombres est données à un mathématicien S. Seul le produit est donné à un mathématicien P. (Les deux mathématiciens ne connaissent pas non plus la borne supérieure des nombres choisis).

S téléphone à P : " Je ne vois aucune méthode avec laquelle vous pourriez d&éterminer ma somme "
Une heure après, P rapelle pour dire : "Je connais maintenant votre somme "
Plus tard, S appelle à nouveau P pour lui dire : "Maintenant, je connais votre produit."

Quels étaient les deux nombres ?
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Ceranor
Ceranor
salut,

peux-tu juste préciser les inégalités :

- les deux nombres sont strictement plus grands que 1 et strictement inferieurs a 20 ?
- S et P ne connaissent pas la borne supérieure de ces nombres mais connaissent la borne inférieure ?
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EtienneS684
EtienneS684
ceranor dit:salut,
- les deux nombres sont strictement plus grands que 1 et strictement inferieurs a 20 ?

Ils sont strictement supérieurs à 1, mais la borne supérieure n'est pas forcement stricte (et d'ailleurs le résultat est le même avec une borne plus grande)
ceranor dit:- S et P ne connaissent pas la borne supérieure de ces nombres mais connaissent la borne inférieure ?


Effectivement, et ils savent aussi que ce sont des entiers.

Bon courrage.
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Ceranor
Ceranor
ca m'agace, j'ai 6 solutions possibles a ton probleme, et je n'arrive pas a en eliminer ...

bon je replonge...
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ReiXou
ReiXou
Pour info : ce probleme était paru dans Jeux & Stratégie en son temps (je dirais vers 83-84) (vous pouvez tricher et aller chercher la soluce dans votre collection).
Tric Trac
Tric Trac
mais évidemment je n'ai pas Jeux et Strategies...

et je sèche lamentablement ! rien de neuf depuis mes 6 solutions de tout à l'heure...

lecteurs de ce fil, préférez-vous qu'on cherche chacun dans son coin et que je ne gâche pas vos recherches, ou que je raconte comment j'ai 6 solutions, que vous m'aidiez eventuellement a finir de tordre de cou a cette énigme ?
arthemix
arthemix
A priori, je n'ai qu'une seule solution. Je l'envoie à Etienne par mail privé...
Qui plus est, je n'ai aucune idée de tes solutions, ni de ton raisonnement, ceranor. (ça t'aide ? :lol: )
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nim
nim
S et P sont des mathématiciens.
S sait que si les 2 nombres sont premiers, alors P est avantagé car connaissant le produit, il en déduira facilement la somme.
Exemple: si le produit est 10. 10 = 2 x 5. Donc P en déduit immédiatement que S = 2 + 5 = 7.

Sachant cela, lisons la première affirmation de S.

EtienneS dit:S téléphone à P : " Je ne vois aucune méthode avec laquelle vous pourriez d&éterminer ma somme "


La première affirmation signifie que S sait qu'il est impossible que les deux nombres soient premiers.

On en conclut que la somme connue par S ne peut jamais être l'addition de deux nombres premiers.

Les sommes possibles vont de 2 à 40:

2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
4 = 3 + 1
5 = 3 + 2
6 = 3 + 3
7 = 2 + 5
8 = 3 + 5
9 = 2 + 7
10 = 3 + 7
11 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
12 = 1 + 11
13 = 2 + 11
14 = 3 + 11
15 = 2 + 13
16 = 3 + 13
17 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
18 = 1 + 17
19 = 2 + 17
20 = 3 + 17
21 = 2 + 19
22 = 3 + 19
23 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
24 = 1 + 23
25 = 2 + 23
26 = 3 + 23
27 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
28 = 5 + 23
29 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
30 = 1 + 29
31 = 2 + 29
32 = 3 + 29
33 = 2 + 31
34 = 3 + 31
35 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
36 = 5 + 31
37 n'est jamais la somme de deux nombre premiers
38 = 7 + 31
39 = 2 + 37
40 = 3 + 37

On en conclut que S = 11, 17, 23, 27, 29, 35 ou 37

La suite au prochain épisode, j'ai du boulot.

Mais c'est le même principe pour les affirmations suivantes (il y a maintenant beaucoup moins de possibilités)

Nicolas
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EtienneS684
EtienneS684
Très bien vu !
Le principe et les résultats sont bons, mais il faut quand même préciser que 1 n'est pas possible pour les nombres choisis.

donc :
4=2+2
12=5+7
18=11+7
24=17+7
30=23+7

Ca ne change rien, mais c'est juste pour être précis.

Etienne
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nim
nim
A TOUS CEUX QUI PRENNENT LE SUJET EN COURS, SAUTEZ CE POST CAR LE RAISONNEMENT EST INCORRECT (INUTILE DE VOUS PETER UN NEURONE DESSUS)

Bon, je m'y remets:

De la deuxième affirmation (celle de P), on peut dire:

(1)

Que P ne connaissait pas la solution.

Ce qui veut dire que pour le produit donné, il y a plusieurs possibilités de multiplication avec des nombres inférieurs à 20.

On peut donc éliminer des possibilités.

Par exemple, (10,17) est à rejeter. Pourtant 10 + 17 = 27 et correspond au premier critère. Cependant, 10 * 17 = 170. Si le produit est 170, il n'y a qu'un seul moyen d'obtenir 170 en multipliant 2 nombres inférieurs à 20. Et comme P n'a pas trouvé la solution, (10,17) est à rejeter.

Donc, les solutions à retenir sont
pour S=11, (2,9) (3,8) (4,7) (5,6)
pour S=17, (2,15) (3, 14) (5,12) (7,10)
pour S=23, (3,20) (5,18) (7,16)
pour S=27, (7,20) (12,15)
pour S=29, (9,20)
pour S=35, pas de possibilité
pour S=37, pas de possibilité

(2)
que pour le produit de P ne peut pas être:
P=30 car 30 = 5*6 dont la somme est 11 et 30 = 2*15 dont la somme est 17. P ne pourrait donc savoir si la somme de S est 11 ou 17.
P=60 car 60 = 5*12 (S=17) et 60=3*20 (S=23)
P=180 car 180 = 12*15 (S=27) et 180 = 9*20 (S=29)

Donc les possibilités restantes sont
(2,9) S=11 P=18
(3,8) S=11 P=24
(4,7) S=11 P=28
(3,14) S=17 P=42
(7,10) S=17 P=70
(5,18) S=23 P=90
(7,16) S=23 P=102
(7,20) S=27 P=140

Suite au prochain épisode.

Y a pas des smileys qui fument? :lol: :roll:

PS (je vous assure que je ne recopie pas J&S, ils sont chez mes parents et je ne les ai pas lu depuis une éternité)
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nim
nim
Je m'aperçois que la troisième affirmation est maintenant facile (tout est dans le post précédent, il n'y a plus de calcul à faire). Mais j'en laisse un peu pour les autres...

Nicolas (qui fume :lol: )
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EtienneS684
EtienneS684
nim dit:Par exemple, (10,17) est à rejeter. Pourtant 10 + 17 = 27 et correspond au premier critère. Cependant, 10 * 17 = 170. Si le produit est 170, il n'y a qu'un seul moyen d'obtenir 170 en multipliant 2 nombres inférieurs à 20. Et comme P n'a pas trouvé la solution, (10,17) est à rejeter.


Là, malheureusement, tu as négligé le fait que les deux mathématiciens ignorent la borne supérieure (mais 10, 17 n'est quand même pas la bonne solution, mais cette fois; le raisonnement n'est pas bon).

sans rancune :wink:

Etienne
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nim
nim
(c'était une connerie, je retourne sur ma table de travail)
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nim
nim
Bon, me revoilà:

La deuxième affirmation (de P) signifie que parmi les décompositions possibles de son produit, il y en a une et une seule qui donne un nombre parmi 11, 17, 23, 27, 29, 35 et 37

Pour S=11, les possibilités sont donc
(2,9) -> P=18
(3,8) -> P=24
(4,7) -> P=28
(5,6) n'est pas bon car 30 = 5*6 = 15*2, donc P ne sait pas si S=11 ou 17

Pour S=17,
(2,15) n'est pas bon car 30 = 2*15 = 5*6
(3,14) n'est pas bon car 42 = 3*14 = 21*2
(4,13) -> P=52
(5,12) n'est pas bon car 60 = 5*12 = 20*3
(6,11) n'est pas bon car 66 = 6*11 = 2*33
(7,10) n'est pas bon car 70 = 7*10 = 35*2
(8,9) n'est pas bon car 72 = 8*9 = 24*3

Je m'arrête ici parce que la conclusion peut déjà être tirée.

Comme dans la troisième affirmation S dit qu'il peut en conclure le produit, c'est qu'il y a une seule possibilité de produit pour la somme de S.

J'en conclus donc que les nombres sont (4,13), la somme est 17 et le produit 52.

J'ai bon cette fois? :?
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EtienneS684
EtienneS684
Cette fois, tu as bon !!

Néanmoins, tu as utilisé pour conclure l'information implicite qu'il n'y a qu'une solution à ce problème, pour ne pas considérer les sommes supérieures à 17. tu n'aurais par exemple pas du tout eu le droit si la formulation avait été "peut-on trouver les nombres ...". Et de toute façon, la conclusion est un peu prématurée, avant d'avoir vérifié que les autres sommes se comportent comme 11. Ceci dit, ce n'est plus que quelques lignes à écrire, sans vraiment réfléchir.

En tout cas : BRAVO !! :D

Etienne
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nim
nim
J'avoue: j'ai trouvé UNE solution, mais je n'ai pas prouvé qu'elle est la seule solution. :oops:

Merci en tout cas pour ce bon moment, ce fut un régal de me replonger qq années en arrière... :D
(même si mes rouages intellectuels ont un peu vieilli)

C'est vrai que J&S manque à beaucoup de ses lecteurs! :cry:

J'essaie de me rappeler. C'était quand? Fin des années '70 - début des années 80? Je me souviens avoir appris ma première ligne de code BASIC dans un article de J&S. Je l'avais retenue par coeur et tapée fébrilement dans un magasin Tandy sur un TRS-80 modèle I. Ca affichait les nombres de 1 à 10 si je me souviens bien! - SEQUENCE EMOTION - Snif, ce sont mes premiers pas en informatique que je dois aussi à J&S.

Nicolas, le coeur gros comme ça bourré de nostalgie (y a pas un smiley coeur qui bat?)
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Monsieur Phal
Monsieur Phal
Cher Monsieur Nim,

nim dit:A TOUS CEUX QUI PRENNENT LE SUJET EN COURS, SAUTEZ CE POST CAR LE RAISONNEMENT EST INCORRECT (INUTILE DE VOUS PETER UN NEURONE DESSUS)


Moi, je n'ai qu'un seul neurone, alors forcément, c'est tout les post que j'ai sauté :lol: C'est dingue ce truc et tout vos chiffres ! Mon dieu mon dieu !

Bien à v...

Monsieur Phal
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nim
nim
Monsieur Phal dit:Moi, je n'ai qu'un seul neurone, alors forcément, c'est tout les post que j'ai sauté :lol:


Ca me rappelle un bon fou rire dans un snack. La caissière avait perdu une pièce de monnaie et cherchait par terre. Un gars dans la file demande "Mais qu'est-ce qu'elle fait?" et celui devant répond "Elle a perdu son neurone". Il y a eu un fou rire général et la caissière s'est redressée, rouge comme ça: :oops:

:lol: (j'en ris encore c'est nerveux excusez-moi)
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