L'hotel Infini

Les énigmes !
1

Il existe quelque part un hotel bien particulier : l'hotel Infini. Cet hotel a la particularité de posséder une infinité de chambres.

Un jour, notre ami benwa qui passait par là, décide de réserver une chambre dans cette hotel dont il n'a entendu que du bien. Il s'adresse à la réception, mais apprend malheureusement que l'hotel est complet.
:arrow: Enigme 1 : comment peut-il obtenir quand même une chambre ?

Le lendemain, EtienneS et tous ses copains (il en a une infinité) passent dans la région. Ayant appris que benwa était descendu à l'hotel Infini, il décide d'y emmener sa bande, et demande à la réception une chambre pour chacun de ses camarades (et une aussi pour lui, faut pas déconner).
:arrow: Enigme 2 : comment loger tout le monde ?

Le surlendemain, Benwa, Etiennes et tous les autres entendent parler de la chaine d'hotels Infini², qui se situe à quelques kilomètres de là. Infini² est constituée d'une infinité d'hotels, chacun possédant une infinité de chambre. Malgré le fait que tous les hotels de la chaine soient complets, ils y trouvent de la place sans problème.
Le sursurlendemain, la direction de Infini² décide de faire des économies de personnel en détruisant tous les hotels de la chaine sauf un.
:arrow: Enigme 3 : comment regrouper tous les occupants de tous les hotels de la chaine dans un seul ?

2

un : c'est pas complet puisque y'a toujours une chambre de plus...
deux : c'est pas complet puisque y'a toujours une chambre de plus...
trois : c'est pas complet puisque y'a toujours une chambre de plus...

3

un : infini + 1 = infini donc il rentre sans problèmes (on peut pousser tout le monde dans la chambre suivante (1->2, 2->3, ...,n->n+1, ....etc) et mettre le nouveau venu dans la 1ère.
deux : infini + infini = infini, ça rentre sans problème.Pour s'en sortir on double le n° de chambre de ceux déjà présents (1->2, 2->4,..., n->2n...etc) et on case les noouveaux arrivants dans les chambres impaires.
trois : infini^infini = infini donc tout le monde pourra rentrer. Pas de méthode de classement trouvée pour l'instant.

4

A mon tour de poser une question sur l'infini.
:arrow: classez ces ensmble selon leur nombre d'éléments dans l'ordre croissant :
- tous les nombres (1,2,3,4,5....)
- tous les carrés parfaits(1,4,9,16,...)
- tous les nombres pairs (2,4,6,8,...)
- tous les cubes parfaits (1,8,27,64)
- tous les nombres impairs (1,3,5,7,...)

:arrow: remarque pour les matheux qui veulent se faire mal :
Q (l'ensemble des fractions) et N (l'ensemble des nombres entiers) sont dénombrables.
R (l'ensemble des réels) est indénombrable sur [0,1].
Il y a donc plus de nombre sur [0,1] dans R que dans Q ou N.
Tous les infinis ne sont donc pas forcément les même.

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Formidable idée de parler de ces petites énigmes amusantes.

Ce sont effectivement des histoires d'infinis dénombrables dans l'exemple de l'hotel infini ci-dessus.

Un ensemble infini dénombrable est tout simplement un ensemble dont on peut énumérer les éléments (les mettre en relation avec les nombres naturels)

Pour la troisième énigme, je représenterais cela sur un plan en 2 dimensions: à l'horizontale, le numéro de la chambre, à la verticale, le numéro de l'hotel. Chaque intersection de nombres entiers, représente donc la chambre x de l'hotel y.

Pour caser tout le monde dans un seul hotel, voici une méthode de dénombrement: il faut partir du point (1,1) en zig-zag. Donc dans la séquence (1,1) - (2,1) - (1,2) - (1,3) - (2,2) - (3,1) - (4,1) - (3,2) - ... Il faut dessiner pour comprendre et ça devient clair.

Pour ajouter une petite note souriante, je reviens à la première énigme, le gérant de l'hotel a eu un mal fou à caser le nouvel arrivant dans son hotel plein, car il lui a fallu un temps infini pour prévenir chaque occupant d'une chambre de passer dans la chambre suivante. Après cette histoire il a démissionné, et a fabriqué un nouvel hotel concurrent, le "deux pi", un hotel en forme de cercle dont chaque point est une chambre. Les chambres sont numérotées de 0 à deux pi, selon l'angle (en radians) formé par rapport au hall d'accueil. Chaque fois qu'un nouveau client arrive, il demande à tous les clients présents, via un haut-parleur situé au centre de l'hotel, d'avancer de 1 radian (=180/pi degrés, ça peut vous aider), et place le nouveau client dans la chambre zéro.

Avec ce principe, il peut accueillir autant de clients qu'il le désire. Car en tournant autour de l'hotel, jamais aucun client déjà présent ne retombe sur la chambre zéro. Savez-vous pourquoi?

Autre chose amusante, vous allez me dire que les chambres sont très petites. Hors il n'a aucun problème de proximité, puisqu'il n'y a jamais de clients dans deux chambres voisines. Savez-vous pourquoi?

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c'est fou hein, mais pour moi, si l'hotel infini est occupé par une inifinité de résidents, eh bien, il est complet....

Bon, y'a un bins dans ma tête, je sais... pour moi, "l'infini" est un endroit qui existe, un endroit précis, mais qu'il est impossible d'atteindre...

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Solution Gargamel

Ils sont "tous égaux"

Solution nim
1 - Je crois qu'on apelle cela de la congruence (ou de la nom congruance plutot) mais n*180/pi ne sera jamais un multiple de 180 quelquesoit n
2- parcequ'il y a une infinité non dénombrable de chambre sur le cercle. 2 point ne sont jamais contigus (il y a tj une infinité de chambre entre 2 chambres)

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Benwa dit:c'est fou hein, mais pour moi, si l'hotel infini est occupé par une inifinité de résidents, eh bien, il est complet....
Bon, y'a un bins dans ma tête, je sais... pour moi, "l'infini" est un endroit qui existe, un endroit précis, mais qu'il est impossible d'atteindre...


Tu as séché tes cours de maths de terminale ?
Cela m'as bien amusé ces histoires d'infinis à l'époque. Et contrairement à toi, je trouve ca assez intuitif.

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jmguiche dit:Tu as séché tes cours de maths de terminale ?


Bin non, j'étais même très bon en maths (surtout en analyse combinatoire et en proba)... mais avec l'infini, j'ai un problème... en fait, je vous suis parfaitement d'un point de vue strictement théorique, en tenant compte de toutes les choses qu'on m'a aprises (et qui ne sont jamais que des conventions) mais c'est du point de vue de mes représentations mentales que ça ne marche pas... je sais pas, c'est plus un blocage d'ordre philosophique...

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Benwa dit:... (et qui ne sont jamais que des conventions) ...


Vaste débat !

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:arrow: Quand on ajoute la n+1 eme chambre, on aura tourné la toute première chambre d'un angle de n rad.
Pour qu'on tombe sur une chambre existante, il faudrait que n=m+2kPi avec m entier et k entier non nul (poour que ca fasse au moins un tour)
Soit (n-m)=2kPi
Soit (n-m)/2k=Pi
Comme Pi n'est pas rationnel, la dernière égalité ne peut pas être vraie. Donc quelque que soit le nombre de chambre, la première (et donc toutes les autres) ne tombe jamais sur une chambre existante.

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jmguiche dit:Solution nim
2- parcequ'il y a une infinité non dénombrable de chambre sur le cercle. 2 point ne sont jamais contigus (il y a tj une infinité de chambre entre 2 chambres)


Reste à montrer que tôt ou tard une chambre viendra se nicher dans l'espace laissée entre deux chambres existantes quelles qu'elles soient... :wink:

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Eric. dit:
Reste à montrer que tôt ou tard une chambre viendra se nicher dans l'espace laissée entre deux chambres existantes quelles qu'elles soient... :wink:

Ben non : pour cela il faudrait qu'elle fasse un (ou n) tour complet et retombe sur le meme point.
Tout les points sur un cercle étant équivalent, si elle le fait, elle le fera aussi sur 0. Or elle ne le fait pas sur 0, donc elle le fait nulle part.

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arthemix dit:Le lendemain, EtienneS et tous ses copains (il en a une infinité) ...

C'est vrai, et c'est d'ailleur un sacré boxon quand ils débarquent tous à l'improviste chez moi... :D (ne serait-ce que pour trouver des jeux qui se jouent à une infinité...)
nim dit:
Avec ce principe, il peut accueillir autant de clients qu'il le désire. Car en tournant autour de l'hotel, jamais aucun client déjà présent ne retombe sur la chambre zéro. Savez-vous pourquoi?

>>C'est parce que pi est irrationnel, donc quelque soit k, k*pi ne sera jamais un entier
nim dit:
Autre chose amusante, vous allez me dire que les chambres sont très petites. Hors il n'a aucun problème de proximité, puisqu'il n'y a jamais de clients dans deux chambres voisines. Savez-vous pourquoi?


>> D'abord parce que dans un ensemble dense, "voisin" ne signifie pas grand-chose, ensuite parce que l'ensemble des chambres a"non ccessibles" est dense sur l'ensemble des chambres accessibles. Une facon de le démontrer estde considérerC' l'ensemble des chambres \alpha * k [modulo 2 pi] , avec k entier et alpha irrationnel, tel que alpha/pi soit irrationne (par exemple alpha = rac(2) ou alpha = e). Puisque alpha est irrationnel, on est sûr qu'aucune chambre n'est "accessible", et comme alpha/pi est irrationnel, il y a une infinité de telles chambres. On peut alors montrer que l'ensemble des chambres C' est dense sur l'ensemble des chambres accesibles, ce qui signifie qu'il y a toujours une chambre de C' (vide) entre deux chambres accessibles.

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Eric. dit:Reste à montrer que tôt ou tard une chambre viendra se nicher dans l'espace laissée entre deux chambres existantes quelles qu'elles soient... :wink:

Je l'ai, enfin je crois :
Dire qu'il y a toujours une chambre potentielle entre deux chambres existante revient à dire qu'il existe une m ieme chambre qui viendra tôt ou tard se caler entre les chambres n et n+1 après un nombre de tour non déterminé.
En maths ca donne
nSoit 2kpi2kPi n'est pas entier donc il aura forcementun entier p dans ]kpi,ékpi+1[.
on a donc m=n+p le nombre d'itérations nécessaire avant de créer la chambre entre les chambres n et n+1.
Maintenant que je relis ma démonstration, j'ai l'impression qu'il y a TOUJOURS une chambre qui se crée entre deux chambres consécutives... ca me perturbe un peu... j'ai du me planter quelque part...

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Evidemment, vous avez tout bon. J'aime beaucoup l'hotel 2Pi ! :P

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Bravo, tout vient en effet du fait que pi est irrationnel, et que l'on avance sur des nombres entiers de radians, donc jamais de collision.

Et effectivement, entre deux nombre quelconques et différents, il y en a toujours une infinité non dénombrable d'autres, et comme il n'y a qu'une infinité dénombrable de chambres occupées, et bien il y a toujours une infinité de chambres libres entre deux chambres occupées! C'est dingue cet hotel non?


Tout cela me rappelle une phrase du "Chat":

"La moitié de l'infini est encore infinie. Alors pourquoi parler de l'infini, alors que la moitié suffit?" :lol:

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arthemix dit:Evidemment, vous avez tout bon. J'aime beaucoup l'hotel 2Pi ! :P

Que personne surtout ne parle de l'hôtel 3Pi ! :P :P :P

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jmguiche dit:Solution Gargamel007
Ils sont "tous égaux"

Question bonus : peut tu le démontrer ?

(vu le niveau de certain, cela ne devrait pas poser de problème. Vous faites tous des maths dans la vie ?)

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Il suffit de definir des bijection entre les ensembles...

X >> X2
X >> 2*X
X>> X3
X>> 2*X-1

Ca fait 20 ans que je n'ai pas fais de math... Mais j'en ai fait beaucoup. (et j'ai presque tout oublié)