Ce jeu est sorti le 13 juin 2001, et a été ajouté en base le 13 juin 2001 par Monsieur Phal

édition 1972

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Par : Simboubou | jeudi 11 août 2011 à 18:40
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Simboubou
Simboubou
Oui, je reste dans les truc "classique".
Là, on va vraiment faire la base de la base ^^

Premier problème, assez facile :
J'ai deux enfants : Pierre et Dominique. Quel est la probabilité que j'ai deux fils ?"


Deuxième, plus difficile, plus longue et carrément culte :
Je participe au jeu télé "A prendre ou a laisser" (j'ai sans doute perdu un pari stupide).
Il reste trois boites. L'une contient 100000€, les deux autres 1 et 2 centimes.
Arthur me demande d'en choisir une à garder. Mais je sais bien comment cette émission fonctionne : je vais choisir une boite, puis il va ouvrir l'une des autres qui contiendra 1 ou 2 centimes. Ensuite, il va me proposer de changer de boite pour rajouter encore une couche de suspense insoutenable...
Quelle est ma meilleur stratégie ?
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Keiyan
Keiyan
Simboubou dit:Oui, je reste dans les truc "classique".
Là, on va vraiment faire la base de la base ^^
Premier problème, assez facile :
J'ai deux enfants : Pierre et Dominique. Quel est la probabilité que j'ai deux fils ?"
0 si tu as bossé dans un régiment de transmissions.

Keiyan, biais.
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Simboubou
Simboubou
Kaiyan, parfois un peu lourd. :mrgreen:
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Docky
Docky
Simboubou dit:J'ai deux enfants : Pierre et Dominique. Quel est la probabilité que j'ai deux fils ?"

En faisant abstraction de la répartition statistique garçon / fille sur ces deux prénoms, j'annonce 1 chance sur 4.
Simboubou dit:Deuxième, plus difficile, plus longue et carrément culte


Et ce problème sent la chèvre. Comprenne qui voudra...
Simboubou
Simboubou
Docky dit:
Simboubou dit:J'ai deux enfants : Pierre et Dominique. Quel est la probabilité que j'ai deux fils ?"

En faisant abstraction de la répartition statistique garçon / fille sur ces deux prénoms, j'annonce 1 chance sur 4.


Ma femme s'appelle Maurice.
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jmguiche
jmguiche
Pour la première, je dirais une sur deux, les tirages sont indépendants. Les éventuels raisonnement sur le mode il y a n façons de faire deux enfants ff fg gf fg sont, amha et pour cette question infondés.

Pour la seconde, la meillere stratégie consiste a prendre la boite avec les 100000€ directement.
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Docky
Docky
jmguiche dit:Pour la première, je dirais une sur deux, les tirages sont indépendants. Les éventuels raisonnement sur le mode il y a n façons de faire deux enfants ff fg gf fg sont, amha et pour cette question infondés.
Pour la seconde, la meillere stratégie consiste a prendre la boite avec les 100000€ directement.


Pierre, Dominique, Claude et Maurice (par exemple) sont des prénoms mixtes. L'affirmation : "J'ai deux enfants : Pierre et Dominique." consiste donc à mon humble avis à affirmer : "J'ai deux enfants." C'est la raison pour laquelle je suis parti sur une chance sur 4 d'avoir 2 fils.

Pour cela il faut considérer que j'ai seulement 2 enfants, et que les chances d'avoir un même prénom en tant que fille ou garçon sont équivalentes. Par exemple, en France, le nombre d'hommes s'appelant Maurice est plus important que le nombre de femmes portant le même prénom.

Par contre, j'aime beaucoup ta seconde solution concernant les 100.000 € ! Et ma mère s'appelle Dominique. :wink:
kalkaoual
kalkaoual
Si un homme s'appelle Lionel Messi et qu'il gagne un SMIC par minute, quelle est la probabilité qu'il ait deux jambes ?


D'un point de vue mathématique, une chance sur deux.
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Simboubou
Simboubou
Docky dit:
jmguiche dit:Pour la première, je dirais une sur deux, les tirages sont indépendants. Les éventuels raisonnement sur le mode il y a n façons de faire deux enfants ff fg gf fg sont, amha et pour cette question infondés.
Pour la seconde, la meillere stratégie consiste a prendre la boite avec les 100000€ directement.

Pierre, Dominique, Claude et Maurice (par exemple) sont des prénoms mixtes. L'affirmation : "J'ai deux enfants : Pierre et Dominique." consiste donc à mon humble avis à affirmer : "J'ai deux enfants." C'est la raison pour laquelle je suis parti sur une chance sur 4 d'avoir 2 fils.
Pour cela il faut considérer que j'ai seulement 2 enfants, et que les chances d'avoir un même prénom en tant que fille ou garçon sont équivalentes. Par exemple, en France, le nombre d'hommes s'appelant Maurice est plus important que le nombre de femmes portant le même prénom.
Par contre, j'aime beaucoup ta seconde solution concernant les 100.000 € ! Et ma mère s'appelle Dominique. :wink:


Bon, on va considerer que pierre est masculin et dominique mixte.
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titoufred2
titoufred2
Nous ne sommes pas ici dans le cadre d'un problème résoluble de façon purement mathématique. On pourrait par exemple faire des recherches statistiques sur les pourcentages de garçons et de filles parmi les Dominique. On pourrait alors se demander quelles statistiques prendre ? En France ? En 2010 ? On pourrait alors demander quelques précisions sur le sens de "J'ai deux enfants". Qui parle ? etc...

Je dois te paraître lourd mais je pense que ce genre de réflexions est fondamental.

PS : enlever le prénom Dominique ne change rien à l'affaire...
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Docky
Docky
titoufred dit:PS : enlever le prénom Dominique ne change rien à l'affaire...


Si je pose le problème avec Jean-François et Charles-Hubert, je pense humblement que cela change quelque chose. :wink:
Simboubou
Simboubou
Dans la mesure ou ce n'est pas précisé, on considère qu'il y a autant de filles que de garçons, et qu'il y 50/50 de filles/garçons parmis les Dominique et que tout les Pierres sont des mecs.

Evidement que mon problème n'est pas purement mathématique. Mais c'est justement parce qu'il est posé sous une forme non formelle qu'il y a un piège. Si j'avais dit (avec quelques libertés sur la notations parce que j'écris au clavier) :


Soit X et Y deux variable aléatoires indépendantes à valeurs dans {0,1}.
On a les probas a priori :
p(X=1) = p(X=0) = p(Y=1) = p(Y=0) = 0.5
On cherche p(X=1 ET Y=1 | X=1 OU Y=1).


Alors là, c'est plus rigoureux mais il n'y a plus de piège du tout...
Tu me sort un règle de Bayes et tu dit : 1/3. Et voilà tout, et c'était pas vraiment drôle, du coup.
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rugal
rugal
Simboubou dit:Dans la mesure ou ce n'est pas précisé, on considère qu'il y a autant de filles que de garçons, et qu'il y 50/50 de filles/garçons parmis les Dominique et que tout les Pierres sont des mecs.


Tout depends du pays ou on se trouve.
en france, on est sans doute à 51%/49% Garçons/Filles

mais en afrique, le rapport doit être de 60/40

ce qui chamboule tout.

sans parler de l'époque.
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titoufred2
titoufred2
Bon alors avec la précision 50% de garçons et 50% de filles chez les Dominique, je suis d'accord avec jmguiche, c'est bien une chance sur deux. Simbobou, ce n'est pas une chance sur trois, comme tu sembles le penser.
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Simboubou
Simboubou
titoufred dit:Bon alors avec la précision 50% de garçons et 50% de filles chez les Dominique, je suis d'accord avec jmguiche, c'est bien une chance sur deux. Simbobou, ce n'est pas une chance sur trois, comme tu sembles le penser.


Ah flute, j'ai du mal écrire l’énoncé.
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Babayog
Babayog
Il me semble que l'énigme avait déjà été posée par le Dr Mops il y a bien longtemps. Si mes souvenirs sont exacts, la réponse doit être : 2/3 de chances pour que Dominique soit un garcon.

Dans une fratrie de deux enfants, sans connaitre le sexe du premier, on peut trouver FF - FG - GF - GG. Le cas FF n'est pas possible vu que Pierre est un garcon. Il nous reste donc FG, GF et GG. On retrouve 4 fois G et 2 fois F. Donc un rapport à 2/3.


Pour la question des boites, je crois que je l'ai déjà entendue dans Las Vegas 21, ou un autre film sur un genie mathématique, qui conseillait de changer de boite. Par je ne me rappelle plus de la démonstration.
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Simboubou
Simboubou
@Titoufred
Tu veux dire que comme j'ai donné des prénoms, j'ai rendue les enfants particuliers et du coup on retombe sur du 1/2 ?

J'aurai du dire un truc du genre : "J'ai deux enfants dont un fils, quelle est la proba que j'ai deux fils ?"
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MenacesSerieuses
MenacesSerieuses
Pour le second problème, sans faire une démonstration mathématique, la stratégie consiste effectivement à changer de boite pour avoir 2 chances sur 3 de gagner. L'astuce vient du fait que le présentateur a une info qu'on n'a pas, et qu'il s'en servira pour éliminer une des deux mauvaise boites, rendant la situation identique qu'on ait choisi la mauvaise boite numéro 1 ou la mauvaise boite numéro 2.

* Cas 1 [1 chance sur 3] : je choisis direct la boite gagnante.
=> Arthur élimine une des deux mauvaises, qu'importe laquelle.
=> La stratégie gagnante dans ce cas consiste à rester sur la boite choisie au départ.

* Cas 2 [2 chances sur 3] : je choisis n'importe laquelle des boites perdantes.
=> Arthur élimine l'autre mauvaise boite, ne laissant plus que la bonne.
=> La stratégie gagnante dans ce cas consiste à changer de boite.

Comme on n'a évidemment pas la chance de savoir si on a choisi la bonne boite ou non dès le départ pour adapter sa stratégie, il vaut mieux aveuglément adopter celle qui nous fera gagner dans 2/3 des cas ;)
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Jones
Jones
Simboubou dit:
Premier problème, assez facile :
J'ai deux enfants : Pierre et Dominique. Quel est la probabilité que j'ai deux fils ?"


Pas pu résisté :twisted:

J'ai un fils, Pierre et une fille Dominique. Donc la proba d'avoir deux fils est très basse

Le nombre de cas d'opération pour transformer une fille comme Dominique en garçon doit être assez faible

Sans compter que même si ça arrivait, il faudrait inclure la probabilité que Pierre souhaite être transformé en fille. Auquel cas, je n'aurais toujours pas 2 fils

Ok, merci, je connais la sortie
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titoufred2
titoufred2
Simboubou dit:@Titoufred
Tu veux dire que comme j'ai donné des prénoms, j'ai rendue les enfants particuliers et du coup on retombe sur du 1/2 ?
J'aurai du dire un truc du genre : "J'ai deux enfants dont un fils, quelle est la proba que j'ai deux fils ?"


Oui c'est exactement ça.
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grolapinos
grolapinos
titoufred dit:
Simboubou dit:@Titoufred
Tu veux dire que comme j'ai donné des prénoms, j'ai rendue les enfants particuliers et du coup on retombe sur du 1/2 ?
J'aurai du dire un truc du genre : "J'ai deux enfants dont un fils, quelle est la proba que j'ai deux fils ?"

Oui c'est exactement ça.


Pas du tout, ces deux questions sont rigoureusement identiques à condition

-d'admettre que les sexes des enfants d'une fratrie sont indépendants et que la probabilité de chacun est 1/2 (douteux mais acceptable dans un modèle théorique faute de meilleures informations)
-que Dominique est un prénom donné de façon aussi fréquente aux garçons qu'aux filles (idem).
-que Pierre est un prénom de garçon.

Penser que donner des prénoms aux enfants change les probas est tout de même assez curieux... C'est un peu comme de croire que les probabilités changent quand on lance deux dés rouges au lie d'un dé rouge et un dé bleu.

Ceci dit, pour éviter les digressions, il vaut mieux donner un énoncé "brut", sans les prénoms.

Bref, tel que je lis la question, je réponds, sous les hypothèses ci-dessus, que la proba d'avoir deux fils est 1/3.
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titoufred2
titoufred2
P(avoir deux garçons) = P(Dominique est un garçon) = 1/2
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jeremie
jeremie
Sous les hypothèses d'indépendance et d'équirépartition (et du fait que l'on a deux enfants)

P( j'ai 2 garçons | mon premier enfant est un garçon) = 1/2
P( j'ai 2 garçons | un de mes enfants est un garçon) = 1/3
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YoshiRyu
YoshiRyu
Pour la boiboite, la meilleur stratégie consiste à changer.

Ne pas changer = 1 chance sur trois d'avoir la bonne boite

Changer = 2 chances sur trois d'avoir une mauvaise boite au départ, puis une mauvaise boite est éliminé, et en échangant on récupère la bonne.

le problème devient évident en augmentant les valeurs :
100 boite dont une seule gagnante, choisissez une boite au hasard, ensuite 98 mauvaises boites sont éliminées, puis vous pouvez changer, vous changez ou pas ? ;)
jeremie
jeremie
YoshiRyu dit:...


Non. Relis.
L'espérance de la stratégie optimale dépend du fait que le présentateur sait dans quelle boîte est la récompense. Sinon il se passe quoi quand le présentateur élimine cette boîte par harsard ?
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Lucide
Lucide
grolapinos dit:
titoufred dit:
Simboubou dit:@Titoufred
Tu veux dire que comme j'ai donné des prénoms, j'ai rendue les enfants particuliers et du coup on retombe sur du 1/2 ?
J'aurai du dire un truc du genre : "J'ai deux enfants dont un fils, quelle est la proba que j'ai deux fils ?"

Oui c'est exactement ça.

Pas du tout, ces deux questions sont rigoureusement identiques à condition
-d'admettre que les sexes des enfants d'une fratrie sont indépendants et que la probabilité de chacun est 1/2 (douteux mais acceptable dans un modèle théorique faute de meilleures informations)
-que Dominique est un prénom donné de façon aussi fréquente aux garçons qu'aux filles (idem).
-que Pierre est un prénom de garçon.
Penser que donner des prénoms aux enfants change les probas est tout de même assez curieux... C'est un peu comme de croire que les probabilités changent quand on lance deux dés rouges au lie d'un dé rouge et un dé bleu.
Ceci dit, pour éviter les digressions, il vaut mieux donner un énoncé "brut", sans les prénoms.
Bref, tel que je lis la question, je réponds, sous les hypothèses ci-dessus, que la proba d'avoir deux fils est 1/3.

Non c'est bien 1/2 car les noms des enfants donnent une information plus importante que juste savoir qu'il y a au moins un garçon parmi les 2 enfants.
Sans le nom des enfants il y a 3 possibilités :
*fille puis garçon
*garçon puis fille
*garçon puis garçon
donc 1 chance sur 3 que les 2 enfants soient des garçons.

Avec les prénoms, on a :
*Pierre puis Dominique fille
*Pierre puis Dominique garçon
*Dominique fille puis Pierre
*Dominique garçon puis Pierre
et là 1 chance sur 2 d'avoir 2 garçons.

Pour l'analogie avec les dés, en donnant les prénoms c'est comme si on donnait une information sur un dé précis (le dé rouge fait 3 par opposition à un des dés est égal à 3). Ici on a un dé Pierre et un dé Dominique et on nous dit que le dé Pierre est un garçon.
grolapinos
grolapinos
Gasp, tu as raison :pouicboulet:

Je n'aime pas ce genre de problème, car c'est la façon de le poser qui crée la difficulté et non le problème en lui-même. Ça donne une image fausse des probas.

Ceci dit, là, j'ai pas assez réfléchi, effectivement.
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titoufred2
titoufred2
Je pense justement que ce genre de problèmes peuvent aider à comprendre ce que sont les probas.

Par exemple, voici quelques problèmes similaires en apparence :

1) Madame X a deux enfants. Je la croise à la sortie de l'école et voit un petit garçon qui se jette dans ses bras en criant "Maman". Quelle est la proba que madame X ait deux garçons ?

2) Madame X a deux enfants. Je la croise à la sortie de l'école pour Garçons (vraiment réservée aux garçons, on est en 1950) et voit un petit garçon qui se jette dans ses bras en criant "Maman". Quelle est la proba que madame X ait deux garçons ?

3) Madame X a deux enfants. Je la croise à la sortie de l'entraînement de foot et voit un petit garçon qui se jette dans ses bras en criant "Maman". Quelle est la proba que madame X ait deux garçons ?

J'en rajoute deux autres :

4) Madame Y a deux enfants. Je travaille dans un magasin de vêtements pour filles dans son quartier. Un jour, je la vois entrer et hésiter devant le rayon robes. Je lui demande si elle compte acheter quelque chose pour l'un de ses enfants et elle me répond que oui.
Quelle est la proba que madame Y ait deux filles ?

5) Madame Y a deux enfants. Je la croise dans un magasin vêtements et la vois hésiter devant le rayon robes. Je lui demande si elle compte acheter quelque chose pour l'un de ses enfants et elle me répond que oui.
Quelle est la proba que madame Y ait deux filles ?
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jeremie
jeremie
Ce que veut dire groslapinos c'est que la principale difficulté est de traduire en language mathématique l'énoncé et qu'en plus il faut faire des hypothèses qui sont implicites (genre proba garçon == proba fille).

Edit : dans ces exemples on se demande quelle est la probabilité qu'un enfant se jette dans les bras de sa mère si elle est devant lui. 1? 1/2? la même pour les filles et les garçons ? la même pour le plus jeune que l'ainé ? Quelle est la proba pour un enfant de jouer au foot ? proba dépendante du sexe ?...

Bref impossible de conclure vu que les questions sont formulées de manière incomplète.

Wikipedia explique assez bien la chose : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enfants

(avec une variante amusante à la fin)
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Lucide
Lucide
C'est assez paradoxal le fait qu'en cherchant à intéresser les gens aux mathématiques, souvent jugées trop abstraites, on rajoute la difficulté de devoir formaliser un énoncé en langage mathématiques pour montrer qu'on peut appliquer les maths dans la vie de tous les jours. Et comme on le voit avec ce genre d’énigmes, c'est la partie traduction qui est la plus piégeuse.
Je ne suis donc pas sûr que ce genre d'énigme aide à comprendre les probas, car la formalisation est finalement une étape trop compliquée quand on peut se contenter de dire "soit Dominique est un garçon, soit c'est une fille, donc une chance sur 2 pour que Pierre et Dominique soient 2 garçons." Après mon avis est sans doute teinté par mon expérience, vu qu'ayant fait une classe prépa, j'ai commencé les probas qu'en troisième année de licence et que j'ai peu vu les probas discrètes où on peut voir ce genre de problème, j'ai surtout étudié la théorie des probabilités qui n'est en fait que de la théorie de la mesure avec son propre vocabulaire (espérance au lieu d'intégrale, variable aléatoire plutôt que fonction, presque sûrement à la place de presque partout, etc...) qui complique plus qu'autre chose (dixit un de mes profs de proba).

Sinon pour les énoncés à la sortie d'école, là je dirai 1 chance sur 3, car je ne vois pas l'école comme une information supplémentaire pertinente, mais je peux me tromper.

Edit : en fait comme on voit l'enfant (ou juste le fait qu'il saute dans les bras de sa mère), on peut l'étiqueter en disant cet enfant est un garçon, l'autre est soit un garçon soit une fille donc finalement ici aussi, la proba que madame X est 2 garçons est 1/2. Le truc (si je ne me trompe pas) est que dans le cas 2 enfants dont un garçon, on n'a aucune info pour différencier les enfants, donc naturellement on raisonne sur ainé/cadet d'où 1 chance sur 3 (car on a besoin d'étiqueter les enfants pour dénombrer les différents cas possibles). Avec une info comme l'enfant se jetant dans les bras de la mère à la sortir de..., on peut raisonner sur l'enfant qui saute et l'autre.
D'un point de vue proba, on passe de 2 va X et Y pouvant être égales à Garçon ou Fille à une va X toujours égale à Garçon et une va Y pouvant être égale à Garçon ou Fille.
Cela me fait penser au chat de Schrödinger qui est soit mort soit vivant (1 chance sur 2) tant qu'on ne l'a pas observé. Juste le fait de le voir change les probas : il est mort ou vivant, pas les deux. Ici l'observation revient à nommer les enfants ou à en observer un à la sortie de l'école.
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grolapinos
grolapinos
Lucide dit:j'ai surtout étudié la théorie des probabilités qui n'est en fait que de la théorie de la mesure avec son propre vocabulaire (espérance au lieu d'intégrale, variable aléatoire plutôt que fonction, presque sûrement à la place de presque partout, etc...) qui complique plus qu'autre chose (dixit un de mes profs de proba).

Ça aussi, à mon avis, c'est une idée assez fausse des probas, que j'ai eue moi aussi en L3 (enfin en Licence à l'époque, je suis un vieux de la vieille). Le vrai coeur des probas est la notion de conditionnement, qui n'a pas vraiment d'équivalent en analyse. L'enseignement des probas en France, jusqu'à il y a quelques années, était désastreux à cet égard :
-au lycée, du dénombrement (souvent difficile à l'excès), des boules de couleur dans des urnes (rébarbatif au possible et difficile aussi), et les quelques exemples classiques piégeux dont on parle en ce moment (et qui donnent l'impression d'une discipline inaccessible à un esprit normal) ;
-en prépa scientifique ou en DEUG (à part les filières Bio), rien, les probas sont oubliées ;
-puis subitement, retour des probas avec direct l'artillerie lourde, théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue et tout le bazar comme introduction (à mon avis aussi efficace que d'introduire l'addition et la soustraction par la notion de groupe).
Si avec ça on ne dégoûte pas les gens de s'intéresser aux probas...

Lucide dit:Cela me fait penser au chat de Schrödinger qui est soit mort soit vivant (1 chance sur 2) tant qu'on ne l'a pas observé. Juste le fait de le voir change les probas : il est mort ou vivant, pas les deux. Ici l'observation revient à nommer les enfants ou à en observer un à la sortie de l'école.


C'est un peu à côté de la discussion, mais c'est plus subtil que ça le chat de Schrödinger. Le point clé, ce n'est pas tellement que le chat ait une chance sur deux d'être mort ou vivant (ça c'est plutôt banal comme idée), c'est que tant qu'on ne l'observe pas, le chat est à la fois mort et vivant, plus "précisément" (pour ceux à qui ça pourrait parler), il est en quelque sorte (mort+vivant)/racine(2) (principe de superposition linéaire des états).
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jeremie
jeremie
Dans le paradoxe du chat le gros truc c'est surtout que le chat est à la fois mort et vivant, il est dans une superposition d'états ce qui est très anti intuitif (qui est impossible pour plus de quelques particules).

Les particules quantiques suivant l'équation de Shrödinger peuvent exister dans un état superposé (mélange d'ondes) qui ne peut plus se maintenir si l'une des particules est observée. A ce titre voir l'expérience des fentes de Young avec un détecteur (disparition des interférences).

Ce qui est vraiment dingue c'est que l'on 'voit' par l'intermédiaire des franges d'interférence la matérialisation d'une densité de probabilité. Et effectivement de l'info en plus sélectionne les possibles (et cela se traduit dans le monde réel)
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